这篇文章给大家聊聊关于凯利公式推导，以及凯利公式的数学推导对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站哦。

本文目录

1. 凯利公式的推导过程
2. 凯利公式具体是怎么推导出来的
3. 凯利公式的运用

凯利公式，也被称为凯利策略或凯利投注策略，是一种在金融投资中用来确定投注比例的数学模型。这个公式在赌场游戏、股票交易以及其它风险投资领域都有广泛的应用。今天，我们就来一起探讨凯利公式的原理，并通过一步步的推导过程，让大家对这个公式有一个更深入的理解。

二、凯利公式的基本原理

凯利公式的基本原理是通过计算期望收益来决定最佳的投注比例。其核心思想是：如果一个投资机会的期望收益高于投注成本，那么增加投注比例可以使投资组合的预期增长最大化。

三、凯利公式的数学推导

1. 期望收益的定义

假设一个投资机会的投注比例为 ""( f "")，每次投注的成本为 ""( 1 "")，赢的概率为 ""( p "")，赢得的金额为 ""( b "")（通常 ""( b > 1 "")）。则每次投注的期望收益 ""( E "") 为：

""[ E = f ""times p ""times b - f ""]

2. 期望收益的函数

为了更好地理解期望收益随投注比例 ""( f "") 的变化，我们可以将期望收益 ""( E "") 表示为一个关于 ""( f "") 的函数：

""[ E(f) = f ""times p ""times b - f ""]

3. 求导

为了找到使期望收益 ""( E(f) "") 最大的投注比例 ""( f "")，我们需要对 ""( E(f) "") 求导，并令导数等于 0：

""[ ""frac{dE(f)}{df} = p ""times b - 1 = 0 ""]

4. 求解

将上述方程求解，得到投注比例 ""( f "") 为：

""[ f = ""frac{p ""times b}{b + 1} ""]

这就是著名的凯利公式。

四、凯利公式的应用

1. 赌场游戏

在赌场游戏中，玩家可以通过凯利公式来决定投注比例，以最大化期望收益。

2. 股票交易

在股票交易中，投资者可以利用凯利公式来确定投资组合中各个股票的权重，以实现风险控制和收益最大化。

3. 其他领域

凯利公式还可以应用于其他领域，如风险投资、保险精算等。

五、总结

本文通过一步步的推导过程，向大家介绍了凯利公式的原理和推导方法。凯利公式是一种强大的工具，可以帮助投资者在风险投资中实现收益最大化。在实际应用中，投资者还需要根据具体情况对凯利公式进行调整和优化。

根据凯利公式，我们可以计算出每个投资机会的最佳投注比例，从而为投资者提供参考。

六、思考

通过对凯利公式的学习，我们不禁要思考：在现实生活中，如何将这个公式应用到我们的日常生活中，以实现更好的生活品质？例如，我们可以将凯利公式应用于时间管理、健康管理等领域，以提高我们的生活质量。

凯利公式是一种非常有用的工具，它可以帮助我们在风险投资中实现收益最大化。希望本文能够帮助大家对凯利公式有一个更深入的理解，并在实际生活中找到应用。

凯利公式的推导过程

凯利公式的推导过程如下：

设定基础参数：

资本金设定为1。成功概率为p，收益为+W。失败概率为q，收益为L。目标是求解最优投入比例x，以在累积n次后使总资产收益最大化。构建期望收益率函数：

基于末态资产和递推关系，构建目标函数f。通过合并胜利与失败的局数，得到an=a0*^S^F，其中S为胜利次数，F为失败次数。进一步定义平均每次收益率为r，期望收益率函数f=^。由于在大量重复实验下，S近似于p*n，F近似于q*n，因此得出f=^p^q。求解最优投入比例x：

通过求解目标函数f的极值，即令f’=0。经过一系列计算，得到最优投入比例x=/。若将赔率b定义为W/L，则x可化简为x=/L。特别地，当L=1时，x=pq/b，此即为凯利公式。举例说明：

若投资项目有70%概率翻倍，30%概率清零，则赔率b=1。最优策略投入比例是x=0.70.3⁄1=0.4。若有100万元资本金，应投入40万元以达到最优。此时期望收益率为f=^0.7^0.3=1.086。通过上述推导过程，可以看出凯利公式是在给定成功概率、失败概率、收益和亏损的基础上，通过最大化期望收益率来求解最优投入比例的一种数学方法。

凯利公式具体是怎么推导出来的

凯利公式的推导，从基本概率论出发。设想一个简单的硬币抛掷游戏，硬币正面和反面出现概率均为0.5。若每次投入相同金额，且资金链不中断，投掷次数增加后，期望总资产稳定于初始值。

用数学语言描述，设初始资产为a，每次投掷后资产变为f(a)，赌赢概率为p，赌输概率为1-p。对于所有n次投掷，资产变化可表达为：f(a)= a* p^n*(1-p)^(n-1)。进一步，总资产为资产乘以下注比例n次方，最终得到资产总公式。

当赌赢概率p>0.5时，最大化资产期望需要最大化每次下注比例。因此，每次下注应将所有资产押注，使资产随投掷次数几何级数增长。反之，若p<0.5，为最大化资产，每次应不押注，确保总资产不变。

在实际投资时，通常采用固定比例投注策略。设比例为b，每次投注后资产变化为原资产乘以(1+b)或(1-b)。n次投注后，资产变为原资产乘以(1+b)^n或(1-b)^n。当p>0.5时，最大化期望资产需在每次投注时将所有资金投注。若p<0.5，期望资产最大时，不进行投注。

通过导数研究，发现期望资产最大化的投注比例为b=(p-1)/ln(1/(1-p))。若p1/2，最佳投注比例为b=(p-1)/ln(1/(1-p))，此时资产期望增长。存在临界点，使得资产期望达到最大。

在实际投资中，需考虑赔率。赢钱率表示赢得资产的倍数，输钱率表示损失的资产比例。投注比例应考虑赔率调整，使期望资产最大化。

此外，投资还存在损失率。当同时考虑赢钱率和损失率时，凯利公式形式发生变化，需调整投注比例以最大化期望资产。

本文概述了凯利公式的推导过程，涉及概率论基础、固定比例投注、考虑赔率与损失率的情况。希望有兴趣的读者深入研究，以更全面理解凯利公式的应用。

凯利公式的运用

f=[p(m+n)-n]/m

m是盈利金额

n是投入金额

p是获胜概率

f是应该投入的资本占比

1，情况一，f=1

f=1，很多人脑子一热，喜欢投入自己所有的资源、资本甚至生命（比如用命抵债），我们看看什么情况下这样做才是安全的。

假如f=1,根据公式可以推导出，p=1

推导过程如下：

1=[p(m+n)-n]/m

m=p(m+n)-n

m+n=p(m+n)

p=1

也就是说，当且仅当我们有100%的把握获胜的时候，我们才可以压上自己的全部。

但是，未来是不可知的，没有人能够100%的预测未来，也没有人能够保证自己100%的胜利。

所以：永远都不要压上自己的全部。

情况二：假如m,n是常数且m是正数

f=[p(m+n)-n]/m

变换一下形式，得出

f=((m+n)/m)*p-n/m

假如m,n是常数，可以看出p和f是正相关。

翻译成大白话，就是说，如果某个项目或投资的回报率固定，当你对一件事情获胜的把握越大，你就应该用更多的资源在上面。

当然，如果m盈利金额是负数的话，那就是负相关了，这种情况就不适用。

生活启示：这种情况可以作为自己平时是否决定做一件事的判断依据。

比如，在人工智能领域，因为你的很了解，所以你有很大的把握在人工智能领域的一个分支做的不错，那么就应该投入更大的精力和资源去发展。

同样在人工智能领域，同样的方向，你听别人说这个分支领域会发展不错，但是你自己没有把握能够做到很好，那么同样的机会，对于你来说，就不能够向那个有把握的人一样投入更多的精力去做。

巨人集团的倒塌有一个很重要的原因就是发展了太多自己不懂的领域，偏离自己的主业太远，导致大量的投资亏损。

其实有点像大家口头上经常说的一句：多在自己擅长的了解的领域去发展，自己不懂得地方不要随便投入，说的就是这个道理。

情况三，假如p是常数，m/n是变量

m/n就是投资回报倍数，比如投入1元，如果获胜，能够回报2元，那么投资回报倍数就是2。

假设m/n＝x

f=[p(m+n)-n]/m

f=((1+n/m)*p)-n/m

f=(p-1)/x+p

假如我们令p=0.6，也就是有60%的胜率。

那么可以得出：f=-0.4/x+ 0.6，函数曲线如下：

当投资回报倍数小于66%的时候，f为负值，就是说不建议投入。

假如我们令p=0.9，也就是有90%的胜率。

那么可以得出：f=-0.1/x+ 0.9，函数曲线如下：

当投资回报倍数小于11%的时候，f为负值，就是说不建议投入。

假如我们令p=0.99，也就是有99%的胜率。

那么可以得出：f=-0.01/x+ 0.99，函数曲线如下：

当投资回报倍数小于1%的时候，f为负值，就是说不建议投入。

在低获胜概率的情况下(60%)，当投资回报率增长几倍，但是f增长缓慢。

在高概率的情况下（99%），投资回报率几乎只要是正的，f的增长非常明显。

我们可以看出，获胜概率的对投入占比的影响大于投资回报倍数对投入占比的影响。

所以，判定一件事情的是否值得投入，获胜概率是第一要素，回报倍数是第二考虑因素。

初中、高中、大学不知道学了多少公式，从来都没想过公式可以这样用，这几天受到启发，自己写文章思考，没想到能从一个普通的公式中国挖掘出这么多道理和应用，不知道原来都学到哪里去了

凯利公式推导和凯利公式的数学推导的讲解到此结束，希望对您有所帮助！